Question

∫x^2cos(x/2)^2dx

Answer 1

∫x^2cos(x/2)^2dx=(1/6)x³+(1/2)x²sinx+xcosx-sinx+C。C为常数。

解答过程如下：

∵[cos(x/2)]²=(1+cosx)/2

∴原式=(1/2)∫(1+cosx)x²dx=(1/2)∫x²dx+(1/2)∫x²cosxdx。

而∫x²cosxdx=x²sinx-2∫xsinxdx=x²sinx+2xcosx-2sinx+c1。

∴原式=(1/6)x³+(1/2)x²sinx+xcosx-sinx+C。

扩展资料：

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

Answer 2

∫x^2cos(x/2)^2dx=(1/6)x³+(1/2)x²sinx+xcosx-sinx+C。C为常数。

解答过程如下：

∵[cos(x/2)]²=(1+cosx)/2

∴原式=(1/2)∫(1+cosx)x²dx=(1/2)∫x²dx+(1/2)∫x²cosxdx。

而∫x²cosxdx=x²sinx-2∫xsinxdx=x²sinx+2xcosx-2sinx+c1。

∴原式=(1/6)x³+(1/2)x²sinx+xcosx-sinx+C。

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 3

解：∵[cos(x/2)]²=(1+cosx)/2，∴原式=(1/2)∫(1+cosx)x²dx=(1/2)∫x²dx+(1/2)∫x²cosxdx。
而，∫x²cosxdx=x²sinx-2∫xsinxdx=x²sinx+2xcosx-2sinx+c1，
∴原式=(1/6)x³+(1/2)x²sinx+xcosx-sinx+C。
供参考。

Answer 4

解：∵[cos(x/2)]2=(1+cosx)/2，∴原式=(1/2)∫(1+cosx)x2dx=(1/2)∫x2dx+(1/2)∫x2cosxdx。而，∫x2cosxdx=x2sinx-2∫xsinxdx=x2sinx+2xcosx-2sinx+c1， ∴原式=(1/6)x3+(1/2)x2sinx+xcosx-sinx+C。供参考。