Question

∫1/(2√2+2cosx)dx＝？

Answer 1

令x＝2u，则：u＝x/2、dx＝2du，
∴∫［1/（2√2＋2cosx）］dx
＝2∫［1/（2√2＋2cos2u）］du
＝∫［1/（√2＋cos2u）］du
＝∫｛1/［√2＋√2（tanu）^2＋1－（tanu）^2］｝［1/（cosu）^2］du
＝∫｛1/［（√2＋1）＋（√2－1）（tanu）^2］｝d（tanu）
＝（√2＋1）∫｛1/［（√2＋1）^2＋（tanu）^2］｝d（tanu）。
－－－－－
令tanu＝（√2＋1）tanv，
则tanv＝（√2－1）tanu＝（√2－1）tan（x/2），且d（tanu）＝（√2＋1）d（tanv），
∴∫［1/（2√2＋2cosx）］dx
＝（√2＋1）^2∫｛1/［（√2＋1）^2＋（√2＋1）^2（tanv）^2］｝d（tanv）
＝∫｛1/［1＋（tanv）^2］｝d（tanv）
＝arctan（tanv）＋C
＝arctan［（√2－1）tan（x/2）］＋C。

Answer 2

可以上传图吗

追问

Answer 3

用三角代换1+cosx=2cos^2\frac{x}{2}