Question

f(x)连续，x趋近于0时，lim[f(x)+cosx]^1/x=e^3，怎么得出f(0)=0

Answer 1

解答过程如下：

lim[f(x)+cosx]^1/x=e^3

推出:exp{lim ln[f(x)+cosx]/x =e^3

推出:lim ln[f(x)+cosx]/x =3

推出:lim ln[f(x)+cosx]=0 (与x同阶)

推出:lim f(x)+cosx = 1

推出:f(0)=0 (以上极限皆->0)

扩展资料

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来

一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关。

多元函数可微必可导，而反之不成立。

即：

在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；

在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。

Answer 2

上式变形得:exp{lim ln[f(x)+cosx]/x =e^3
推出:lim ln[f(x)+cosx]/x =3
推出:lim ln[f(x)+cosx]=0 (与x同阶)
推出:lim f(x)+cosx = 1
推出:f(0)=0 (以上极限皆->0)
做题应该根据题目来推答案，而不是对着答案来硬拼题目。楼上的做法实际做题完全是废话

Answer 3

lim(x->0) [ f(x) + cosx ]^(1/x) = e^3
consider
lim(x->0) ( 1+ 3x) ^(1/x) = e^3
=>
f(0) +cos0 = 1
f(0) + 1= 1
f(0) = 0