Question

已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D,E分别是BC，AP的中点

1.求异面直线AC与ED所成角的大小
2.求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积
（需要过程，谢谢）

Answer 1

1。
首先求出DE,
连接AD, PA⊥平面ABC推出，PA⊥AD，所以：
DE²=AE²+AD²=（AP/2)²+（BC/2）²=2
DE=√2
寻找异面直线AC与ED的所成角
平面ABC内，过D做DF‖AC交AB于F，可知：直线AC与ED所成的角，就是直线DF与ED所成的角,即∠EDF，连接EF；
容易求出：DF²=（AC/2）²=1/2；EF²=（PB/2)²=（PA²+AB²）/4=3/2；
DF=√2/2， EF=√6/2
于是，cos∠EDF=（DF²+DE²-EF²）/2DF*DE
=（1/2 +2 -3/2）/2*√2/2*√2
=1/2
所以：∠EDF=60°
异面直线AC与ED所成的角为60°
2。
注意到PA⊥面ABC，那么，△PDE绕直线PA旋转一周所构成旋转体的体积就是：
△PAD绕PA旋转一周旋转体的体积 - △EAD绕PA旋转一周旋转体的体积
=π/3*AD²*PA- π/3*AD²*EA
=π/3*AD²（PA-EA)
AD=BC/2=1, PA-EA=PE=PA/2=1代入上式
体积为：π/3

Answer 2

楼上答案错了。。。。。是arccos 四分之根号二。 (下面根号不清楚)

解（1）解法一：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，
所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．
由已知，AC=EA=AD=1 ， AB=
3
， PB=
7
，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．
在Rt△EFD中，DF=
1
2
， ED=
2
，cos∠EDF=
2
4
．
所以异面直线AC与ED所成的角为arccos
2
4
（arctan
7
)．
解法二：建立空间直角坐标系，C(1 ， 0 ， 0) ， D (
1
2
，
3
2
， 0)，E（0，0，1），

AC
=(1 ， 0 ， 0 ) ，

ED
=(
1
2
，
3
2
， -1)
PCDEcosθ=
12
2
=
2
4
，
所以异面直线AC与ED所成的角为arccos
2
4
．
（2）△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AD
为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面
半径、AE为高的小圆锥，体积V=
1
3
π•1•2-
1
3
π•1•1=
1
3
π．
分数线不清楚。 见谅。