Question

求两道高一数学向量夹角题，急急急！（明天就要交！）

1.求与向量a=(1,2),b=(2,1)夹角相等的单位向量c的坐标。

2.已知向量a与b都是非零向量，且(a+3b)⊥（7a-5b）,
(a-4b)⊥（7a-2b）,求向量a与b的夹角。

Answer 1

1.设c（x，y）
应为a向量的摸与b向量的摸相等，所以运用公式X+2Y=2X+Y
则X=Y
c向量的摸=根号下（X的平方+Y的平方）=根号2倍X
所以单位向量为（X,X)/根号2倍X=（二分之根号2，二分之根号2）
2. 向量a与b都是非零向量，
因为(a+3b)⊥（7a-5b）,
所以 (a+3b)(7a-5b)=0,7a^2+16ab-15b^2=0
因为(a-4b)⊥（7a-2b）,
所以 (a-4b)(7a-2b)=0,7a^2-30ab+8b^2=0
二式相减。46ab-23b^2=0
b^2=2ab
代入第一个式子。
a^2=2ab
a的长度与b的长度相等。
cos(a,b)=0.5
即向量a与b的夹角为60度

Answer 2

1.设向量c=(x,y)
则cos＜ac＞=（x+2y）／│a││c│=cos＜bc＞=(2x+y)／│b││c│
2x+y=x+2y
│c│=1
x^2＋y^2=1
x=√2／2,y=√2／2
x＝-√2/2,y=-√2／2
单位向量c的坐标为(√2/2,√2/2) ，
或(-√2/2,-√2/2)
2. 向量a与b都是非零向量，
因为(a+3b)⊥（7a-5b）,
所以 (a+3b)(7a-5b)=0,7a^2+16ab-15b^2=0
因为(a-4b)⊥（7a-2b）,
所以 (a-4b)(7a-2b)=0,7a^2-30ab+8b^2=0
二式相减。46ab-23b^2=0
b^2=2ab
代入第一个式子。
a^2=2ab
a的长度与b的长度相等。
cos(a,b)=0.5
即向量a与b的夹角为60度

Answer 3

1。 设c（x，y）
应为a向量的摸与b向量的摸相等，所以运用公式X+2Y=2X+Y
则X=Y
c向量的摸=根号下（X的平方+Y的平方）=根号2倍X
所以单位向量为（X,X)/根号2倍X=（二分之根号2，二分之根号2）

2。 因为（a+3b)*(7a-5b)=0
(a-4b)*(7a-2b)=0
化简方程就行了

Answer 4

（1）. 设向量d=（m,n),因为d与a,b夹角相等有 cos<a,d>=cos<b,d>，即（m+2n)/根号下[(m^2+n^2)*(1+2^2)]==（2m+n)/根号下[(m^2+n^2)*(1+2*2)],得，m=n 所以d=（m,m),又c为单位向量，得 c ==(m/根号下[m^2+m^2]) === (+-根号2/2，+-根号2/2）
(2).A+3B垂直于7A-5B说明(A+3B)·(7A-5B)=0（中间的点表示内积）

可得7A·A+16A·B-15B·B=0..............(1)

A-4B垂直于7A-2B说明(A-4B)·(7A-2B)=0

可得7A·A-30A·B+8B·B=0................(2)

设A·B=d

(1)-(2)可得B·B=2A·B=2d

从而A·A=2A·B=2d

cos∠(A,B)=A·B/[(A·A)(B·B)]=1/4d

∠(A,B)=arccos(1/4d)

Answer 5

设c（x，y）
应为a向量的摸与b向量的摸相等，所以运用公式X+2Y=2X+Y
则X=Y
c向量的摸=根号下（X的平方+Y的平方）=根号2倍X
所以单位向量为（X,X)/根号2倍X=（二分之根号2，二分之根号2）