Question

如果,在△ABC中,D是BC边上的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F

（1）△ABC与△FCD相似吗？请说明理由：
（2）点F是线段AD的中点吗?为什么？
（3）若S△ABC=20，BC=10，求DE的长

Answer 1

（1）∵DE⊥BC,BD=DC
∴BE=CE
∴∠BCE=∠B
∵AD=AC
∴∠ADC=∠ACB
∴△ABC∽△FCD
（2）过D点作CE的平行线DG，交AC的延长线于G。
则∠BCE=∠B=∠CDG
∵∠ADB=∠DAC+∠ACD，∠DCG=∠DAC+∠ADC
又∵∠ACD=∠ADC
∴∠ADB=∠DCG
又∵BD=DC
则△ABD≌△GDC
∴AD=CG
又∵AD=AC
∴AC=CG
∵CE‖DG
∴AF=FD
（3）过点A作BC边上的高AM，交BC于M，则DE‖AM
∵AD=AC
∴DM=MC=1/2 CD=1/4 BC
∵S△ABC=20
∴AM=4
∵DE‖AM
∴BD：BM=DE：AM
则DE=8/3

Answer 2

1)证明：AD=AC，所以∠ACB=∠ADC

D为BC中点，DE⊥BC，所以DE是BC的垂直平分线，∠ECB=∠EBC。

△ABC与△FCD，∠ACB=∠FDC，∠ABC=∠FCD，所以△ABC∽△FCD

2）△ABC∽△FCD，所以DF/AC=DC/CB，因为AC=AD，而DC=1/2BC，所以DF=1/2AC=1/2AD.

S△FCD=5，底边CD=5，过F作BC的垂线，垂足为G，过A作BC的垂线，垂足为H。

所以1/2*5*FG=5，FG=2，因为DF=1/2AD，而FG‖AH，故AH=4

DG=1/2DH，所以DE/AH=BD/BH=BD/(BD+1/2BD)=2/3

故DE=8/3