Question

如图，已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于F。

（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若△FCD的面积=5，BC=10，求△ABC的边BC上的高AG及ED的长。
希望各位数学高手能帮帮小弟

Answer 1

证明：（1）∵AD=AC
∴∠ADC=∠ACD
∵D是BC边上的中点，DE⊥BC
∴EB=EC
∴∠EBC=∠ECB
∴△ABC∽△FCD；

（2）∵△ABC∽△FCD
∴ S△FCDS△ABC=(CDCB)2=(12)2
而S△FCD=5
∴S△ABC=20
而S△ABC= 12×BC×DE
∴DE=4．点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的长．

Answer 2

（1）证明：∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD．

∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，

∴EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB．

∴△ABC∽△FCD；

 

（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，

∴S△FCDS△ABC=(

CDCB)2=(

12)2=14．

∵S△FCD=5，

∴S△ABC=20．

又∵S△ABC=12×BC×AM，BC=10，

∴AM=4．

又DM=CM=12CD，DE∥AM，

∴DE：AM=BD：BM=23，

∴DE=83．

Answer 3

(1)BD=DC
ED垂直于BC，可得BE=CE，角B=角ECD，
又AD=AC，所以角ADC=角ACD，
得证
(2)由相似可知AD=2DF，S△ABC=20
F是中点，S△AEF=S△DEF
S△ABC=2S△BDE+S△ACE
=15+3S△DEF
所以S△DEF=5/3
接下来DE=2S△BEC/BC=4/3