Question

高等数学函数证明题

f(x)在(-无穷，+ 无穷)上是有界函数且有连续倒数。
1.存在a,b，使f(a)=f(b)=0，证明存在α属于(a,b)，使f(α)+f'(α) ＝ 0。

Answer 1

如图

Answer 2

考察函数 f(x) = sinx，它在 R 上可导，因此对任意 x1 < x2 满足拉格朗日中值定理的条件，
所以存在 a 使 f ' (a) = [f(x1) - f(x2)] / (x1-x2)，
由于 |f ' (a)| = |cosa| ≤ 1，
所以 |f(x1) - f(x2)| / |x1-x2| ≤ 1，
则 |f(x1) - f(x2)| ≤ |x1 - x2| ，
显然当 x1 = x2 时上式也成立，
所以对任意 x1、x2 ∈（-∞，+∞）有 |sinx1 - sinx2| ≤ |x1 - x2| 。