Question

一道f（f（x））题求解

这种题目到底怎么做啊，思路老是搞不灵清，求解！拜托了🙏🏻

Answer 1

外侧函数f(·)的定义域是以内侧函数f(x)的绝对值与2的关系，来分段的

所以我们要讨论|f(x)|≤2的x的取值范围，以及|f(x)|>2的x的取值范围
（1）当|x|>2，f(x)=0，所以此时f(f(x))=f(0)=4-0²=4
（2）当|x|≤2，f(x)=4-x²
（2-1）令f(x)>2，则4-x²>2
所以|x|<√2
所以当|x|<√2时，f(x)=4-x²>2，故此时f(f(x))=f(4-x²)=0
（2-2）令f(x)≤2，则4-x²≤2
所以|x|≥√2
因为|x|≤2
所以当√2≤|x|≤2时，f(x)=4-x²≤2，故此时f(f(x))=f(4-x²)=4-(4-x²)²=-x^4+8x²-12
综上所述
当|x|>2时，f(f(x))=4
当√2≤|x|≤2时，f(f(x))=-x^4+8x²-12
当|x|<√2时，f(f(x))=0

追问

大哥为什么是f（x）＞2而不是f（x）的绝对值＞2？脑筋死在这了，拜托讲解下谢谢🙏🏻

追答

抱歉，这里因为我改变过解题过程，所以简化了。
理论上是应该令|f(x)|>2的，你说的是对的。
但是当|x|≤2时，有x²≤4，所以f(x)=4-x²≥0
也就是说当|x|≤2时，|f(x)|=f(x)

所以我只写了f(x)>2和f(x)<2