Question

一个向量组的极大线性无关组一定可以由这个向量组中的向量线性表示吗？

我知道一个向量组的极大线性无关组一定可以线性表示这个向量组中其余向量，我就是想知道反过来正确不正确？

Answer 1

当然。可以证明。
假设向量组的极大无关组是x1、x2、……xi。这个向量组有另外一个向量m。

因为x1、x2、……xi是极大无关组，所以m、x1、x2……xi是线性相关的。（极大无关组的定义）

即至少有一组不全为0的系数组k、k1、k2……ki使得km+k1x1+k2x2+……+kixi=0

假设k=0，那么系数组就是k1、k2……ki不全为0，且k1x1+k2x2+……+kixi=0，这和x1、x2、……xi是极大无关组矛盾。

所以k≠0。

所以m=（-k1/k）x1+（-k2/k）x2+……+（-ki/k）xi
即m能用x1、x2、……xi线性表示。

追问

反了，麻烦仔细看我的问题

反了，麻烦仔细看我的问题

Answer 2

当然可以
给定一个向量A(a1,a2,a3,...,an)和向量B（b1,b2,...,bn）
A可以由B线性表出是指存在一组数使得k1,k2,...,kn,使得
A=k1*b1+k2*b2+...+kn*bn
A的一个极大线性无关组是A向量组的一个子集，假设这样的一个极大线性无关组Ak为
Ak=ai,ai+1,...,ai+k
那么这样的极大线性无关组可以表示成：
Ak=0a1+0a2+...+1ai+1ai+1+...+1ai+k+...+0an-1+0an
也就是一个向量的极大线性无关组一定可以由这个向量组来表示

Answer 3

是正确的
因为极大线性无关组本身就是向量组中的一部分

Answer 4

一个向量组可以由它的最大线性无关组线性表示
这句话有问题，如果向量组的最大线性无关组就是他本身，那么无法用最大线性无关组表示