Question

什么叫 矩阵的特征向量 和特征值？

Answer 1

只说定义吧 [意义，太重要。用途，太多。几句话说不清，不说了！]

n阶方阵A,行列式|λE-A| [E是n阶单位矩阵，λ是变量。这是λ的n次多项式，首

项系数是1] 叫做A的特征多项式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n

个），都叫A的特征值。

如果λ0是A的一个特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）为降秩矩阵，线性方程组

（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n维列向量] 必有非零解，

每个非零解就叫矩阵A的关于特征值λ0的一个特征向量。

[特征方法是线性代数的核心内容之一，也是其他很多数学分支的重要内容，可

要认真对待了！]

Answer 2

1.(a-xe)v1=av1+xev1=av1+xv1=(a+x)v1
所以v1是矩阵a-xe特征值为a+x的特征向量。
2.存在可逆矩阵p，使得p逆ap=对角阵△=（a1,a2,....an），
那么，（p逆ap）（p逆ap）=（a1,a2,....an）（a1,a2,....an）
p逆a^2p=（a1,a2,....an）（a1,a2,....an）=（a1^2,....,an^2）
所以a^2=p（a1^2,....,an^2）p逆，特征值为a1^2,....,an^2。