(x*sinx÷(1+cosx^2)
=-∫√(1+(cos x)^2)dcosx
令t=cosx
原式=-∫√(1+t^2)dt 上限是-1,下限是1
再令t=tanu (正切),则dt=(secu)^2 du
原式=-∫√(1+(tanu)^2)*(secu)^2 du 上限是-π/4,下限是π/4
=-∫(secu)^3 du
=-∫1/(cosu)^3 du
=-∫cosu/(cosu)^4 du
=-∫1/(1-(sinu)^2)^2 dsinu
再令sinu=y,上限是-√2/2,下限是√2/2
原式=-∫1/(1-y^2)^2 dy
=-1/4*∫[1/(1-y)^2+1/(1-y)+1/(1+y)+1/(1+y)^2] dy
=-1/4*[1/(1-y)-1/(1+y)+ln|(1-y)(1+y)|)]+C (C为常数)
=-1/4*[2y/(1-y^2)+ln|1-y^2|]+C
再把上限-√2/2,下限√2/2代进去
得到原定积分=-1/4*(-4√2)
=√2
定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值,而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式)。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
令x=π-u u∈[π,0],则
∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx
=∫π→0 (π-u)sin(π-u)/[1+cos²(π-u)]d(π-u)
=-∫π→0 (π-u)sinu/(1+cos²u)du
=∫0→π (π-u)sinu/(1+cos²u)du
=π∫0→π sinu/(1+cos²u)du-∫0→π usinu/(1+cos²u)du
=π∫0→π sinx/(1+cos²x)dx-∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx
所以2∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx=π∫0→π sinx/(1+cos²x)dx
∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx
=π/2∫0→π sinx/(1+cos²x)dx
=-π/2∫0→π 1/(1+cos²x) dcosx
=-π/2 arctan(cosx) |0→π
=-π/2 [arctan(-1)-arctan(1)]
=-π/2(-π/4 -π/4)
=π²/4
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