Question

万有引力公式怎么推导？

f＝gMm/r^2这道公式中，行星乘中心天体是怎么得出来的

Answer 1

牛顿的万有引力定律是通过开普勒实际观察行星运动归纳出的三大定律：

①所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

②行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。

③所有行星绕太阳一周的恒星时间的平方与它们轨道长半轴的立方成比例

以太阳为极坐标原点，根据第二定律：r²θ=C，于是有θ=Cu²，u=1/r，进行适当数学变换：

根据运动学方程：F=ma=m（r-rθ），将r=常常一串代入F=mrθ，得到比奈公式：

又根据第一定律，太阳（原点）在椭圆的一个焦点上，那么轨道方程为：r=p/(1+ecosθ)，其中p和e为椭圆的半通径和偏心率，为常数，那么有：

代入比奈公式，可以得到：

上式说明了行星在运动过程中受到太阳的引力大小和行星质量成正比，和距离的平方成反比。

这是一个行星的计算结果，只能说明行星受太阳的引力具有上式的形式，是否对任意的行星都具有相同的G呢？

令a为椭圆轨道长半径，e为偏心率，则椭圆面积为

代入引力公式有：

根据第三定律，对任意两个行星，a1³/T1²=a2³/T2²，于是我们发现G是一个常数！

万有引力定律证明完毕！！