Question

线性代数，相似矩阵那一章的题

已知二阶方阵A的特征值为1，2，他们对应的特征向量分别为(1,2)T和(1,3)T，求A和A∧k

Answer 1

记两个特征值为λ1=1,λ2=2,对应的两个特征向量为α1=(1，2)^T，α2=(1,3)^T,由特征向量的性质，α1，α2线性无关。因为A是二阶矩阵，有互异的特征值，所以A能够与对角矩阵相似，令P=(α1,α2),所以P可逆，且P^–1AP=Λ=diag(1,2)(注:对角线上是1，2的对角矩阵)，分别左乘P右乘P^–1得A=PΛP^–1=
1 1 1 0 3 –1
2 3 0 2 –2 1
=
–1 1
–6 4
A^k=PΛ^kP–1,Λ^k=diag(1,2^k),代进去，跟上面求A一样可求出A^k。