Question

从1到20任选3个数成为等差数列的个数为多少

Answer 1

最小的数若为m=2k-1,则最大的数可以选m+2,m+4,m+6,……,19,中间的数为它们的平均数，可以形成19-m=20-2k个等差数列（注意数列可以小中大，也可以大中小，这样一组数可以形成2个不同的等差数列）；
最小的数若为m=2k,则最大的数可以选m+2,m+4,m+6,……,20,中间的数为它们的平均数，可以形成10-m=20-2k个等差数列；
显然m可以从1取到18，也就是k从1到9，可以形成
∑(k从1到9)[(20-2k)+(20-2k)]
=∑(k从1到9)[(40-4k)]
=360-180
=180个等差数列。
ps，更简练的做法是：
1到20的20个数里，有1,3,5,7,...19共10个奇数，2,4,6,8,...,20共10个偶数，显然由三个不同的数组成的等差数列两端的数一定是同奇偶的，并且两端的数确定了，等差中项也就确定了，于是
a(10.2)+a(10,2)为所求【其中a(10,2)表示从10个数中取出2个数的排列数】
=90+90
=180。