Question

从1,2,3,┉20中任选出3个不同的数,使这3个数成等差数列,这样的等差数列可以有多少个

Answer 1

最小的数若为m = 2k-1,则最大的数可以选m+2,m+4,m+6,……,19,中间的数为它们的平均数，可以形成 19-m = 20-2k 个等差数列 （注意数列可以小中大，也可以大中小，这样一组数可以形成2个不同的等差数列）；
最小的数若为m = 2k,则最大的数可以选m+2,m+4,m+6,……,20,中间的数为它们的平均数，可以形成 10-m = 20-2k 个等差数列；
显然m可以从1取到18，也就是k从1到9，可以形成
∑(k从1到9)[(20-2k)+(20-2k)]
= ∑(k从1到9)[(40-4k)]
= 360 - 180
= 180 个等差数列。

PS，更简练的做法是：
1到20的20个数里，有1,3,5,7,...19共10个奇数，2,4,6,8,...,20共10个偶数，显然由三个不同的数组成的等差数列两端的数一定是同奇偶的，并且两端的数确定了，等差中项也就确定了，于是
A(10.2)+A(10,2)为所求【其中A(10,2)表示从10个数中取出2个数的排列数】
= 90 + 90
= 180。

Answer 2

公差最小是1，最大是9，
公差是1，这样的数列有18个
公差是2，这样的数列有16个
公差是3，这样的数列有14个
...
公差是9，这样的数列有2个
总共得出有90个这样的数列

Answer 3

公差为1的有(1,2,3),(2,3,4)……(18,19,20)共18组
公差为2的有(1,3,5),(2,4,6)……(16,18,20)共16组
公差为3的有(1,4,7),(2,5,8)……(14,17,20)共14组
公差为4的有(1,5,9),(2,6,10)……(12,16,20)共12组
以此类推
公差为5的有10组
公差为6的有8组
公差为7的有6组
公差为8的有4组
公差为9的有2组
一共有2+4+6+8+10+12+14+16+18=(2+18)×9/2=90组
公差为负数的也有90组，一共是180组