Question

求下列函数的值域与单调性

Answer 1

判断函数单调性的常用方法
一、定义法
设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数.
二、性质法
除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题.
若函数f(x)、g(x)在区间b上具有单调性，则在区间b上有：
⑴
f(x)与f(x)＋c（c为常数）具有相同的单调性；
⑵
f(x)与c•f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性；
⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；
⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；
三、同增异减法
是处理复合函数的单调性问题的常用方法.
对于复合函数y＝f
[g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令
t＝g(x)，则三个函数
y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f
[g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.
注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；
（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；
（3）如果f(x)在区间d上是增（减）函数，那么f(x)在d的任一子区间上也是增（减）函数.
四、求导法
导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点
求函数值域的常用方法
1．观察法
用于简单的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞,
1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数。
y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,
＋∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）
3.
换元法
多用于复合型函数。
通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量（新量）的变化范围。
y=-x+2√(
x-1)+2
令t=√(x-1),
则t≤0,
x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞,
1].
4.
不等式法
用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。
y=（e^x+1）/(e^x-1),
(0
1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).
5.
最值法
如果函数f(x)存在最大值m和最小值m.那么值域为[m,m].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6.
反函数法
有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.
7.
单调性法
若f(x)在定义域[a,
b]上是增函数,则值域为[f(a),
f(b)].减函数则值域为
[f(b),
f(a)].
8.
数形结合法
利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像法求函数的值域.