Question

外接圆与正方形有着什么密切的关系?

Answer 1

正方形与圆
　　大约6000年以前，美索不达米亚人制造了圆轮，这是当时最伟大的发明之一．然后他们慢慢掌握了很多有关圆的几何知识．为了算出圆的周长，他们在圆外画一个“最小的”正方形，在圆内画一个“最大的”正方形,然后把两个正方形的周长之和的一半近似地作为圆的周长．
　　现代人对于正方形与圆的认识要深刻得多了．
　　你见过一种折叠桌吗？它的桌面形状如图2所示，在4个用阴影表示的弓形与中间正方形的4条公共边上，分别装有金属制的合页．如果把这4个弓形扳开，桌面就呈圆形；如果把这4个弓形翻折到桌面的背后去，桌子就呈正方形．这样桌子能同时起到圆桌和方桌的作用，真是一举两得！
　　正方形是我们最熟悉和喜欢的图形之一．我们把一张正方形的纸对折一次到两次，就可以发现它具有四边相等、四角相等、对角线相等并且互相垂直平分、有4条对称轴和一个对称中心等重要性质．由于这些性质，正方形常被用作图案装饰．用方砖铺成的地面，砖与砖之间、砖与墙之间都很容易严丝合缝，并且从长、宽、对角线方向看去都具有对称性，因此比较美观．国际象棋的棋盘、围棋的棋盘，都是用一个大正方形画成小正方形的格子做成的．
　　此外，正方形还与圆有着密切的关系．正方形有外接圆，圆也有内接正方形．外接圆的直径长等于正方形的对角线长，正方形的4个顶点把外接圆4等分．上面所说的折叠桌，就是利用了正方形的这些性质．
　　但是，为什么上面的折叠桌要把圆变为正方形，而不变为长方形呢？这里有一个奥妙．原来，在圆的所有内接矩形中，正方形的面积最大．
　　为了弄清楚这一点，请看图3，设四边形是圆的任何一个内接矩形，是垂直于的弦，垂足为．利用相似三角形的知识，容易证明，即．由于直径是最长的弦，所以矩形的面积：
这就是说，
决不会比
大．那么，
能否等于
呢？能．从刚才证明的过程中，你一定可以发现只需并且必须使是垂直于的直径，即点与点重合，并且
．而这正好说明：要使
达到最大值，只需并且必须使矩形是圆的内接正方形．
看到这里，你也许会说：“正方形还有内切圆呢，它有什么用处呀？”
　　这个问题提得很好，正方形有内切圆，圆也有外切正方形．正方形的内切圆有什么性质呢？请看图4，你一定能发现：内切圆的直径长等于正方形的边长，切点是正方形各边的中点；内切圆和外切圆是以正方形中心为圆心的同心圆．
　
正方形的内切圆也有许多用处．例如，上底和下底为正方形的饼干桶，如果盖子做成正方形，由于正方形的边长小于对角线长，盖子很容易掉进桶里去；把盖子做成圆形（比内切圆稍小些），既美观，又不易掉下去．又如，给暖瓶做包装纸盒时，把与瓶盖、瓶底接触的面做成正方形，使瓶底的圆周正好内切于纸盒底面的4条边，这样往往节省空间，并且有利于存放和运输．