Question

f(x)在[a,b]上连续且大于零,则方程∫[a,x]f(t)dt +∫[b,x]1/f(t)dt=0在(a,b)内根的个数

Answer 1

设F(x)=∫[a,x]f(t)dt
+∫[b,x]1/f(t)dt
F'(x)=f(x)+1/f(x)≥2>0，因此F(x)单增，则F(x)=0最多只有一个根。
由f(x)在[a,b]连续，则F(x)连续
F(a)=∫[a,a]f(t)dt
+∫[b,a]1/f(t)dt=-∫[a,b]1/f(t)dt<0
F(b)=∫[a,b]f(t)dt
+∫[b,b]1/f(t)dt=∫[a,b]f(t)dt>0
由零点定理，则F(x)=0在(a,b)内必有根。
综上，∫[a,x]f(t)dt
+∫[b,x]1/f(t)dt=0在(a,b)内有且只有一个根。

Answer 2

1)
利用积分导数的性质得∫(a,x)f(t)dt关于x的导数是f(x),
∫(a,x)dt/f(t)关于x的导数是1/f(x),
f'(x)=f(x)+1/f(x)>=2*sqrt{f(x)*[1/f(x)]}，这里利用了性质a^2+b^2>=2ab（a>0,b>0)
2)
由于f'(x)>=2>0,因此函数在(a,b)区间单调上升，同时，当x=a时，f(a)=∫(b,a)dt/f(t)=-∫(a,b)dt/f(t)<0，当x=b时，f(b)=∫(a,b)f(t)dt>0，所以程f(x)=0在(a,b)内有且仅有一个根。