Question

求解（数列问题）

Answer 1

不用不完全归纳，用数学归纳法可以吧
当n=1时，x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1，
　　
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，解得a1=12。
　　
当n=2时，x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-12，
　　
于是(a2-12)2-a2(a2-12)-a2=0，解得a1=16。
　　
(Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0，Sn2-2Sn+1-anSn=0。
　　
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，代上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0
①
　　
由(Ⅰ)知S1=a1=12，S2=a1+a2=12+16=23。
　　
由①可得S3=34，由此猜想Sn=nn+1，n=1，2，3，…
　　
下面用数学纳法这个结论
　　
(i)n=1时已知结论成立;
　　
(ii)假设n=k时结论成立，即Sk=kk+1
当n=k+1时，由①得Sk+1=12-Sk，即Sk+1=k+1k+2，
　　
故n=k+1时结论也成立。
　　
综上，由(i)、(ii)可知Sn=nn+1对所有正整数n都成立，
　　
于是当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1)，
　　
又n=1时，a1=12=11×2，所以{an}的通项公式an=nn+1，n=1，2，3，…

Answer 2

将n=1代入方程容易得到a1=1/2
将Sn-1代入方程得到（Sn-1）^2-an（Sn-1）-an=0
将an=Sn-（Sn-1）代入上式化简得（Sn-1）【（Sn-1）-1】=Sn-（Sn-1）
令Sn-1=An
故上式为An*（An-1）=An-（An-1）两边除以An*（An-1）得到1/（An-1）-1/An=1
又A1=S1-1=-1/2所以1/An=-2+（-1）*（n-1）
An=-1/（n+1）
Sn=n/n+1
所以an=Sn-（Sn-1）=n/(n+1)
经检验，符合题意！（不懂欢迎追问！