Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆O分别交BC,AC于点D，连接EB交OD于点F。

Answer 1

1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°．
（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可．
解答：（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．(∠1=∠EAB,．∠2=∠ABE)
∵AB=AC，
∴∠1=
1/2∠CAB．
∵∠CBF=
1/2∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵sin∠CBF=
√5/5，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=
√5/5
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=
√5，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2
√5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2√
5，
∴sin∠2=
2√5/5，cos∠2=
√5/5，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
GC/BF=AG/AB
∴BF=
GC•AB/AG=
20/3

Answer 2

如图，在三角形ABC中，AB等于AC，以AB为直径的圆O分别交BC.AC于D.E点F在AC的延长线上且∠CBF＝1/2∠CAB若AB＝5
正弦∠CBF＝根5

Answer 3

（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切线；
（2）解：∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=
=
，而AB=10，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=
=
，
∴AE=
，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴
=
，即
=
，
∴BF=
．

Answer 4

（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴DC=DB．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠OFB=∠AEB=90°，
∴OD⊥BE．
（2）设AE=x，
∵OD⊥BE，
∴可得OD是BE的中垂线，
∴DE=DB，
∴∠1=∠2，
∴BD=ED=√5/2
，
∵OD⊥EB，
∴FE=FB．
∴OF=1/2AE=1/2x，DF=OD-OF=5/4
-1/2x．
在Rt△DFB中，BF²=DB²-DF²=(√5/2)²-(5/4-1/2x)²；
在Rt△OFB中，BF²=OB²-OF²=(5/4)²-(1/2x)²；
∴=(√5/2)²-(5/4-1/2x)²=(5/4)²-(1/2x)²
解得x=3/2
，
即AE=3/2
．

Answer 5

（1）证明：连接OD．
∵OD=OB（⊙O的半径），
∴∠B=∠ODB（等边对等角）；
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）；
∴∠C=∠ODB（等量代换），
∴OD∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠ODE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）；
∵DE⊥AC（已知），
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∴AD⊥CD；
在Rt△ACD和Rt△DCE中，
∠C=∠C（公共角），
∠CED=∠CDA=90°，
∴Rt△ACD∽Rt△DCE（AA），
∴
CE
CD
=
DC
AC
；
又由（1）知，OD∥AC，O是AB的中点，
∴OD是三角形ABC的中位线，
∴CD=
1
2
BC；
∵BC=8，AB=5，AB=AC，
∴CE=
16
5
．