Question

求解两道高一函数数学题！！急！求过程！

1、以x为自变量的二次函数y＝-x²+（2m+2）x－（m²+4m-3），m为不小于0的整数，它的图像与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边，问：求这个二次函数解析式。 2、已知二次函数f（x）＝ax²＋bx＋c满足下列条件：①图像过原点 ②f（﹣x＋2002）＝f（x－2000） ③方程f（x）＝x有重根。问： （1）方程f（x）＝x的解析式 （2）是否存在实数m、n（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，若存在，直接写出m、n的值；若不存在，说明理由

Answer 1

1、解：由题意知，m²+4m-3<0，而m为不小于0的整数，验证知吗>=1时，式子左面>0，所以只能m=0,解析式为y＝-x²+2x+3
2、解：（1）：①图像过原点说明c=0；
②f（﹣x＋2002）＝f（x－2000）注意一下（﹣x＋2002）+（x－2000）=2，知图像关于x=1对称，所以b=-2a,
③方程f（x）＝x有重根,.则f（x）-x＝ax²＋(b-1)x＋c=ax²＋(-2a-1)x=0即
ax²＋(-2a-1)x=0，很显然a=-1/2
所以f（x）=-1/2x²+x
（2）f(x)的单调递增区间为x<=1,单调递减区间为x>=1,最大值为1/2
假定这样的m,n存在，则3m与3n均小于1/2，所以m与n均小于1/6，此时[m，n]范围内函数递减，由题意可得f(m)=3m；f(n)=3n,代入分别解得m与n均有两个值-4与0，由于m<n，所以
m=-4,n=0
经检验这样的值符合题意。
所以这样的m、n是存在的，m=-4,n=0