Question

证明任何群的自同构群都不能是奇数阶循环群？

Answer 1

首先，我们知道群G的阶|G|＝1或者2时，自同构群Aut(G)是平凡的，下面我们讨论的群G都是阶大于2的群。

假设群G的自同构群Aut(G)是循环群。接下来我们来证明

①此时群G是交换群

首先，有下面这个结论，这里Z(G)指群的中心。

群的内自同构群Inn(G)是自同构群Aut(G)的子群，根据循环群的子群仍然是循环群，可以得到Inn(G)是循环群。

根据Inn(G)≌G/Z(G)，得到G/Z(G)是循环群。

可以证明此时群G是交换群：G/Z(G)是循环群时,设G/Z(G)＝<aZ(G)>，对任意的x,y属于G，存在整数m和n，和g，h属于Z(G)，x=a的m次方*g,y=a的n次方*h,由于中心Z(G)满足交换律,所以xy=(a的m次方*g)(a的n次方*h)=(a的n次方*h)(a的m次方*g)=yx,即G是交换群。

②交换群G的阶大于2时，自同构群Aut(G)含有阶为2的元素。

分两种情况，(1)当群G含有阶大于2的元素时，映射：g到g的逆是非恒等自同构，且这个自同构是二阶的。(2)当群中所有非单位元的阶都是2时，(1)中提到的自同构是恒等自同构，即每个元素映射到自身，不能再用这个自同构，因为交换群G每个非单位元的阶等于2，且群G的阶大于2，根据有限交换群的结构定理，群G是Z2的直和，Z2是二阶循环群，且至少含有两个Z2(G的阶大于2)，G如果除了g1和g2生成的Z2有其他的Z2，下面这个自同构对其他的Z2的生成元都是恒等映射。

综上根据①和②，阶大于2的群的自同构群为循环群时，自同构群中含有阶为2的元素，根据群的拉格朗日定理，自同构群的阶为偶数，所以不可能是奇数阶循环群。