Question

复合函数求导例题

Answer 1

我建议将偏导数定义,和全微分概念搞透,其它就迎刃而解,偏导数就是对函数的某一变量求导而将其它变量看作常量,全微分是对所有变量微分.因此本题复合函数求导就容易理解了
,对φ(x)=f(x,f(x,x))全微分
:
∵dφ(x)=df(x,f(x,x))=f1'×dx+f2'×df(x,x)
df(x,x)=f1'×dx+f2'×dx
∴dφ(x)=f1'×dx+f2'×(f1'×dx+f2'×dx)
左右二边除以dx
,可得:
φ'(x)=dφ(x)/dx=f1'+f2'×(f1'+f2')
因此所谓复合函数求导,通过以上全微分求导就容易理解了.这才原汁原味!
为什么不看书,
∵⊿φ(x)=φ(x+⊿x)-φ(x),
⊿f(x,f(x,x))=
f(x+⊿x,f(x+⊿x,x+⊿x))-f(x,f(x,x))
f1'=∂f(x,y)/∂x
这里y为常量令y=c,即求导过程中不变,
只要记住属于第几变量即可.同理
f2'
就是对第二个变量求偏导数
至于这个变量用什么符合尽可不管.
f(x,y)某
单一变量的增量:
⊿f(x,y)=f(x+⊿x,y)-f(x,y)
,
(y不变),
⊿f(x,y+⊿y)=f(x+⊿x,y
+⊿y)-f(x,y+⊿y)
,
(
y+⊿y
保持不变)
前者在(x,y)点对x变量求偏导数,后者在(x,y+⊿y)点对x变量求偏导数,
当⊿x→0时
∂f(x,y)/∂x=⊿f(x,y)/⊿x
∂f(x,y+⊿y)/∂x=⊿f(x,y+⊿y)/⊿x
当⊿x
→0,⊿y→0时∂f(x,y)/∂x=∂f(x,y+⊿y)/∂x=
f1'
注意:
∂f(x,y)/∂x
≠
∂f(x,y+⊿y)/∂x
(y≠y+⊿y,
只有⊿y→0,y+⊿y→y,才成立.
这表示从(x+⊿x,y)点
沿
y为常量,平行x轴方向趋近(x,y)点
(x+⊿x,y+⊿y)点,沿以
y+⊿y为常量,平行x轴方向趋近(x,y+⊿y)点.
当⊿x→0,
同时⊿y→0时(x+⊿x,y+⊿y)点可正交分解为沿平行x,y轴趋近(x,y)点
∴⊿f=f(x+⊿x,y
+⊿y)-f(x,y)
=
f(x+⊿x,y
+⊿y)-f(x,y+⊿y)
+f(x,y+⊿y)-f(x,y)
=×⊿x+/⊿y
=
f1'⊿x
+f2'⊿y
(
⊿x
→0,⊿y→0,f1'
,f2'
对应(x,y)点取偏导)
因此
全微分概念这才能帮助理解透彻!

Answer 2

我建议将偏导数定义,和全微分概念搞透,其它就迎刃而解,偏导数就是对函数的某一变量求导而将其它变量看作常量,全微分是对所有变量微分.因此本题复合函数求导就容易理解了
,对φ(x)=f(x,f(x,x))全微分:
∵dφ(x)=df(x,f(x,x))=f1'×dx+f2'×df(x,x)
df(x,x)=f1'×dx+f2'×dx
∴dφ(x)=f1'×dx+f2'×(f1'×dx+f2'×dx)
左右二边除以dx,可得:φ'(x)=dφ(x)/dx=f1'+f2'×(f1'+f2')
因此所谓复合函数求导,通过以上全微分求导就容易理解了.这才原汁原味!
为什么不看书,
∵⊿φ(x)=φ(x+⊿x)-φ(x),
⊿f(x,f(x,x))=f(x+⊿x,f(x+⊿x,x+⊿x))-f(x,f(x,x))
f1'=∂f(x,y)/∂x这里y为常量令y=c,即求导过程中不变,
只要记住属于第几变量即可.同理f2'就是对第二个变量求偏导数
至于这个变量用什么符合尽可不管.
f(x,y)某单一变量的增量:
⊿f(x,y)=f(x+⊿x,y)-f(x,y),(y不变),
⊿f(x,y+⊿y)=f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y),(y+⊿y保持不变)
前者在(x,y)点对x变量求偏导数,后者在(x,y+⊿y)点对x变量求偏导数,
当⊿x→0时∂f(x,y)/∂x=⊿f(x,y)/⊿x
∂f(x,y+⊿y)/∂x=⊿f(x,y+⊿y)/⊿x
当⊿x→0,⊿y→0时∂f(x,y)/∂x=∂f(x,y+⊿y)/∂x=f1'
注意:
∂f(x,y)/∂x≠∂f(x,y+⊿y)/∂x(y≠y+⊿y,只有⊿y→0,y+⊿y→y,才成立.
这表示从(x+⊿x,y)点沿y为常量,平行x轴方向趋近(x,y)点
(x+⊿x,y+⊿y)点,沿以y+⊿y为常量,平行x轴方向趋近(x,y+⊿y)点.
当⊿x→0,同时⊿y→0时(x+⊿x,y+⊿y)点可正交分解为沿平行x,y轴趋近(x,y)点
∴⊿f=f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y)
=f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y)+f(x,y+⊿y)-f(x,y)
=×⊿x+/⊿y
=f1'⊿x+f2'⊿y(⊿x→0,⊿y→0,f1',f2'对应(x,y)点取偏导)
因此全微分概念这才能帮助理解透彻!

Answer 3

是复合的函数
根据公式我们知道[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)
y=sinx的导数是y′=cosx
x^3=3x^(3-1)=3x^2
答案中的结果是已经求过导的所以不用再求一次

Answer 4

只要记住基本求导公式
再记住求导的链式法则
即f[g(x)]导数为f'[g(x)]*g'(x)
求导都是可以搞定的
比如y=sin(x+e^x)
求导就是y'=cos(x+e^x)*(1+e^x)

Answer 5

复合函数求导的例题练习