高数，极值问题，求解答
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题主您好，这个题需要用拉格朗日乘子法，具体如图所示
望采纳，谢谢。
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2024-12-15 广告
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求曲线 x³-xy+y³=1(x≧0，y≧0)上的点到坐标原点的最大与最小距离。
解：设曲线上的动点M的坐标为(x，y); 其与原点的距离L=√(x²+y²)；现在要求动点M在
曲线上运动时L的最大最小值。为简化运算，改求L²=x²+y²的最大最小值。因此可以用拉
格朗日乘数法；
作函数F(x，y)=x²+y²+λ(x³-xy+y³-1);
令 ∂F/∂x=2x+λ(3x²-y)=0..........①
∂F/∂y=2y+λ(-x+3y²)=0.........②
x³-xy+y³-1=0.............................③
三式联立求解得：x=1，y=1，λ=-1;
故Lmax=√2；当y=0时有x³=1，即x=1；故点(1，0)是曲线上位于x轴上且最靠近原点的点，
此时Lmin=1；当x=0时有y³=1，即y=1；故点(0，1)是曲线上位于y轴上且最靠近原点的点，
此时Lmin=1；故Lmax=√2；Lmin=1.
解：设曲线上的动点M的坐标为(x，y); 其与原点的距离L=√(x²+y²)；现在要求动点M在
曲线上运动时L的最大最小值。为简化运算，改求L²=x²+y²的最大最小值。因此可以用拉
格朗日乘数法；
作函数F(x，y)=x²+y²+λ(x³-xy+y³-1);
令 ∂F/∂x=2x+λ(3x²-y)=0..........①
∂F/∂y=2y+λ(-x+3y²)=0.........②
x³-xy+y³-1=0.............................③
三式联立求解得：x=1，y=1，λ=-1;
故Lmax=√2；当y=0时有x³=1，即x=1；故点(1，0)是曲线上位于x轴上且最靠近原点的点，
此时Lmin=1；当x=0时有y³=1，即y=1；故点(0，1)是曲线上位于y轴上且最靠近原点的点，
此时Lmin=1；故Lmax=√2；Lmin=1.
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