Question

微分方程xy'-y-根号下(x^2+y^2)=0的通解。

Answer 1

这题出现了x^2+y^2，可能在极坐标系下求解比较容易
x=r*cosθ
y=r*sinθ
极坐标系下dx=cosθ
dr-sinθ
rdθ
dy=sinθ
dr+cosθ
rdθ
方程化为rcosθ
*(sinθ
dr+cosθ
rdθ)/(cosθ
dr-sinθ
rdθ
)
-r*sinθ-r=0
化简为dr/r
=
dθ*(1+sinθ)/cosθ
右边=dθ*
cosθ*(1+sinθ)/(cosθ)^2=d(sinθ)/(1-sinθ)
dr/r
=d(sinθ)/(1-sinθ)
积分得：exp(r)=-exp(C*(1-sinθ))
r=C/(1-sinθ)
(C为常量)
sinθ=y/r
,r=sqrt(x^2+y^2)
化会直角坐标系
sqrt(x^2+y^2)
=
C/(1-y/sqrt(x^2+y^2))
即
sqrt(x^2+y^2)
-y
=C
在计算过程中，可能舍掉了一些解，也可能多求了一些解，还得再仔细算算