Question

有关圆周运动的物理题求解

如图，一个水平放置的圆筒正绕中轴匀速转动，筒上有一小孔，筒壁很薄，当小孔运动到筒的上方时，在孔的正上方高h处有一个小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径，为了让小球下落时不受任何阻碍，h与筒的半径R之间应满足什么关系（不考虑空气阻力）？ 答案：h=8Rn^2/(4n+2k-1)(2k-1) 请给出详细的解答过程。——谢谢！

Answer 1

分析
首先，为了让小球下落时不受任何阻碍，所以当它下落h时，小孔刚好又正朝上，才能让它进去，继续下落，所以，它下落h所用的时间是圆筒转动周期的整数倍，然后它从小孔进入圆筒，再到出来时，也没有阻碍，所以，当它到圆筒底部时，小孔正朝下，它在圆筒中运动的时间也是圆筒转动半周期的奇数倍。
计算
设圆筒匀速转动的线速度是v,
小球下落h所用时间t1=(2h/g)^0.5
小球在桶内运动时间
t2=t总-t1=(2(h+2R)/g)^0.5-(2h/g)^0.5
圆筒的转动周期为T=2πR/v,办周期为πR/v
所以t1=nT=2nπR/v,n是自然数
t2=(2k-1)πR/v,k是≥1的自然数
所以(2h/g)^0.5=2nπR/v
①式
(2(h+2R)/g)^0.5-(2h/g)^0.5=(2k-1)πR/v
②式
联立上边的两个式子消去v（①式÷②式）,解得就是你那个答案
h=8Rn^2/(4n+2k-1)(2k-1)