Question

已知函数f（x）=（logax）2-logax-2（a＞0，a≠1）（Ⅰ）当a=...

已知函数f（x）=（logax）2-logax-2（a＞0，a≠1） （Ⅰ）当a=2时，求解关x的不等式f（1+x1-x）＞0 （Ⅱ）若函数f（x）在[2，4]的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（logax）2-logax-2，故当a=2时，f（x）=(log2x)2-log2x-2．
故f（1+x1-x）=(log21+x1-x)2-log21+x1-x-2，故关于x的不等式f（1+x1-x）＞0，
即
(log21+x1-x)2-log21+x1-x-2＞0．
令t=log21+x1-x，则不等式即
t2-t+2＞0，即
（t-2）（t+1）＞0．
解得
t＞2，或t＜-1，故有
log21+x1-x＞2，或
log21+x1-x＜-1，
即
①log21+x1-x＞log24，或②log21+x1-x＜log212．
解①求得 1+x1-x＞4，即
5x-3x-1＜0，解得
35＜x＜1．
解②求得 0＜1+x1-x＜12，即
x+1x-1＜0x+1x-1+12＞0，即
-1＜x＜13x+12x-2＞0，
即
-1＜x＜1x＞1 ，或x＜-13，解得-1＜x＜-13．
综上，不等式的解集为
{x|-1＜x＜-13，或35＜x＜1}．
（Ⅱ） f（x）=（logax）2-logax-2=（logax-2）（logax+1）=loga(xa2)•loga（ax）．
当a＞1时，函数 f（x）在[2，4]上增函数，故最小值为f（2）=loga(2a2)•loga（2a）=4，
化简可得
（loga2-2）（loga2+1）=4，解得
loga2=3，或
loga2=-2
（舍去），故a=32．
当0＜a＜1时，f（x）=loga(xa2)•loga（ax） 在[2，4]上增函数，
故最小值为f（2））=loga(2a2)•loga（2a）=4，解得得
loga2=3（舍去），或
loga2=-2，解得
a=22．
综上，a=32，或a=22．