已知椭圆x2a2+y2b2=1，过椭圆左顶点A（-a，0）的直线L与椭圆交于Q，...
已知椭圆x2a2+y2b2=1，过椭圆左顶点A（-a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，2OP，AR成等比数列．...
已知椭圆x2a2+y2b2=1，过椭圆左顶点A（-a，0）的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与L平行的直线与椭圆交于P，求证：AQ，2OP，AR成等比数列．
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解：设过左顶点A的直线L解析式为：y-0=k（x+a）即y=kx+ka，与y轴交点R坐标为（0，ka）；
AR=(1+k2) a2；
联立y=kx+kax2a2+y2b2=1
得到AQ=2b2b2+a2k2 ；
则过原点的直线为y=kx，与椭圆的交点为P，
联立x2a2+y2b2=1 y=kx
得：x=±a2b2b2+a2k2y=±ka2b2b2+a2k2
所以P（a2b2b2+a2k2 ，ka2b2b2+a2k2），OP=(1+k2)a2b2b2+a2k2．
得：2OP2=AQ•AR
故AQ，2OP，AR成等比数列．
AR=(1+k2) a2；
联立y=kx+kax2a2+y2b2=1
得到AQ=2b2b2+a2k2 ；
则过原点的直线为y=kx，与椭圆的交点为P，
联立x2a2+y2b2=1 y=kx
得：x=±a2b2b2+a2k2y=±ka2b2b2+a2k2
所以P（a2b2b2+a2k2 ，ka2b2b2+a2k2），OP=(1+k2)a2b2b2+a2k2．
得：2OP2=AQ•AR
故AQ，2OP，AR成等比数列．
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