Question

2的^()p+1)-1

求lim[（1^p+2^p+……+n^p）/n^p — n/(p+1)],n→∞,p为自然数
前面部分的极限是n/(p+1)，而lim n/(p+1)当n→∞时是∞，而后面就是n/(p+1)也等于∞，所以原题是∞-∞型的 不能说它就得0

Answer 1

1/2
∞时等于 n*积分x^p 0到1 所以 等于 n/(p+1)>这个确实有问题
它最多可以说明 limn分之（1^p+2^p+……+n^p）/n^p=p+1
下面再利用这个证明
由微分2阶展开
f(x)-f(x-h)=h*f'(x)-f''(x)*h^2/2+o(h^2)
设f(x)=x^(p+1)/(p+1) 则f'(x)=x^p f''(x)=px^(p-1)
则f(i/n)-f((i-1)/n)=(1/n)*(i/n)^p-(p/2)(i/n)^(p-1)*(1/n)^2+o(1/n^2)
则(i/n)^p=n*(f(i/n)-f((i-1)/n))+(p/2n)(i/n)^(p-1)+o(1/n)
将i=1.n带入 并全部加起来得
（1^p+2^p+……+n^p）/n^p=n(f(1)-f(0))+(p/2n)(∑(i/n)^(p-1))+o(1)...1式
前面已经给出（1/n）(∑(i/n)^(p-1))=p
因此 1式=n/(p+1)+1/2
因此（1^p+2^p+……+n^p）/n^p— n/(p+1)=1/2