Question

设f(x)=∫0x (t-t^2)sin^2ntdt

当X≥0时,证明f(x)=∫(0到x)(t-t^2)(sint)^(2n)dt的最大值 和 证明f﹙x﹚≤1/((2n+2)(2n+3)),

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

　　因为f'(x)=(x-x^2)(sinx)^(2n)=x(1-x)(sinx)^(2n),
　　由此可知f(x)在[0,1]上递增,在[1,正无穷)上递减,f(1)是最大值,
　　因此,只需证明f(1)=∫(0到1)(t-t^2)(sint)^(2n)dt