Question

多项式a0*x^n+a1*x^n-1+a2*x^n-2+....+...an=0奇数和偶数？

Answer 1

f(x)=a0*x^n+a1*x^n-1+a2*x^n-2+....+...an
则f(x)是连续函数
不是一般性，令a0>0
a)当n是奇数时，

则当x趋于正无穷大时，f(x)趋于正无穷大，对于给定的实数1，存在x1, x>x1时 f(x)>1
当x趋于负无穷大时，f(x)趋于负无穷大，对于给定的实数-1，存在x2, x<x2时 f(x)<-1
所以f(x2), f(x1)彼此异号，根据过零定理，在(x2， x1)上存在点 x0, f(x0)=0，就是说f(x)=0存在实根x=x0
b) 当n是偶数时，
不是一般性，令a0>0, an<0
则x趋于无穷大时，f(x)趋于无穷大，对于给定实数1, 存在x1,当x>x1时，f(x)>1
而f(0)=an <0
所以f(x0), f(0)异号，根据过零定理，存在(0,x0)上的点x1, f(x1)=0 得证