Question

求证1+1/3+1/5+.....+1/(2n+1)<ln(2n+1)

详细一点

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

证明：
方法一：分析通项利用单调性证明
记f(x)=ln[(2+x)/(2-x)]-x/(2+x),0<x<1
f'(x)=[4+6x]/[(2-x)(2+x)²]>0,f(x)↑
又f(x)可在x=0处连续则
f(x)>f(0)=0
即ln[(2+x)/(2-x)]>x/(2+x)
取1/n∈(0,1)替换x有
ln[(2n+1)/(2n-1)]>1/(2n+1)......(*)
将此不等式中的n依次从1取到n累加有
ln(3/1)+ln(5/3)+...+ln[(2n+1)/(2n-1)]>1/3+1/5+...+1/(2n+1)
即ln(2n+1)>1/3+1/5+...+1/(2n+1)
得证.
方法二：利用微分中值定理证明
对f(x)=ln(2x+1),在[n-1,n]上运用拉格朗日中值定理有
f(n)-f(n-1)=f'(θ)[n-(n-1)]=f'(θ),其中θ∈(n-1,n)
得到ln(2n+1)-ln(2n-1)=2/(2θ+1)>2/(2n+1)>1/(2n+1)
即ln[(2n+1)/(2n-1)]>1/(2n+1)
余下证法同上
方法三：对f(x)=1/(2x+1)在[n-1,n]运用积分中值定理
1/2ln[(2n+1)/(2n-1)]=∫(n-1,n)1/(2x+1)dx=1/(2θ+1)>1/(2n+1)
亦有ln[(2n+1)/(2n-1)]>1/(2n+1)
余下证法同上
方法四：数学归纳法略
【注：对于(*)式也可以命f(x)=x+ln(1-2x),0<x<1/3,易得f'(x)<0,f(x)↓,
f(x)<f(0)=0,即x<ln[1/(1-2x)]取x=1/(2n+1)则有ln[(2n+1)/(2n-1)]>1/(2n+1)......(*)】