设f(x)是定义在R上的增函数,且有f(xy)=f(x)+f(y)

(1)求证:f(x/y)=f(x)-f(y)(2)若f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2,求a的取值范围... (1)求证:f(x/y)=f(x)-f(y) (2)若f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2,求a的取值范围 展开
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员齐海津
2019-03-30 · TA获得超过3929个赞
知道大有可为答主
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这是抽象函数问题。看来你对抽象函数的学习刚开始,找不到解决问题的头绪。
抽象函数没有解析式,这是“弱点”;
但是抽象函数也有“优点”---这就是它有“百宝箱”,比如本题“对任意x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)”---之所以称之为
“百宝箱”,是因为你想要的东西都可以从这里寻找。
(1)证:由f(xy)=f(x)+f(y)得:
f(x/y)+f(y)=f(x)
变形即是:f(x/y)=f(x)-f(y)
(2)解:分析,本问,是要使用函数的“百宝箱”把式子变为两个函数值的关系,然后利用单调性“脱”掉f!然后再解关于a的不等式即可。在“脱”掉f的过程中,首先要把“2”“穿”上f

已知f(a)>f(a-1)+2可变为f(a)-f(a-1)>2由(1)知:
f(a)-f(a-1)=f[a/(a-1)],而2=1+1=f(3)+f(3)……“穿”上f了!又由已知得f(3)+f(3)=f(9)
因此:f(a)>f(a-1)+2即:
f[a/(a-1)]>f(9),再由已知“设f(x)是定义在R上的增函数”可把f“脱”掉:
a/(a-1)>9,
下面应该会解了吧?我留给你解决。
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