Question

x³＋2x－cosx＝1的实根个数，为什么？

求解方程x³＋2x－cosx＝1的实根个数，为什么？

Answer 1

研究f(x)=x^3+2x-cosx-1的零点嘛。
求导得3x^2+2+sinx恒正，
故f(x)单增，至多一根；
而x→-∞时f(x)→-∞，以及x→+∞时f(x)→+∞，由连续性与介值定理知至少一根。
综上，恰有一根。
如果你不习惯介值定理用在∞上，你可以挑两个点，比如f(-π/2)<0，f(π/2)>0，(-π/2,π/2)内有实根。

Answer 2

解:方程为x³+2x-cosx=1，设f(x)=x³+2x-
cosx-1，f'(x)=3x²+2+sinx，则f'(x)＞1，f(x)为增函数；当x=0时，f(x)=-2；当x=1时，f(x)=2-cos1＞0；则x³+2x-cosx=1只有一个实根

Answer 3

解，设f(x)=x^3+2x-cosx-1
则f′(x)=3x^2+2+sinx>0
故f(x)↑，而f(x)∈R，
故有唯一一个实根。

Answer 4

解：记 f(x)＝x^5+2x+cosx，则 f'(x)＝5x^4+2-sinx，因为 5x^4≥0，sinx≤1，所以 f'(x)≥0+2-1＝1＞0，所以 f(x)在(-∞, +∞)上是单调递增的，又因为f(0)＝0+0+1＞0，f(-π)＝-π^5-2π-1＜0，所以，方程 f(x)＝0，即 x^5+2x+cosx＝0 有且仅有一个实根.

Answer 5

1+cosx为什么等于sin2x。伪命题。1+cosx=2cos²(x/2)≠sin2x。