Question

已知f（x）=2x3+ax与g（x）=bx2+c的图象都过点P（2，0），且在点...

已知f（x）=2x3+ax与g（x）=bx2+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有公共切线，求f（x），g（x）的表达式．

Answer 1

分析：利用f（x）=2x3+ax与g（x）=bx2+c在点P处有公共切线，可求切线的斜率，利用函数f（x）与g（x）的图象都经过点P（2，0），即可求得f（x），g（x）的表达式．
解答：解：∵函数f（x）=2x3+ax的图象经过点P（2，0）
∴f（2）=2×23+2a=0
∴a=-8
∴f（x）=2x3-8x
∴f′（x）=6x2-8
∴点P处的切线斜率k=f′（2）=6×22-8=16
∵g′（x）=2bx，两函数图象在点P处有公切线
∴g′（2）=4b=16
∴b=4
∵g（x）=bx2+c的图象都过点P（2，0），
∴g（2）=16+c=0
∴c=-16
∴g（x）=4x2-16
∴f（x）=2x3-8x，g（x）=4x2-16
点评：本题主要考查函数解析式的求解，考查利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．