求arcsinx/x^2不定积分
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简单计算一下，详情如图所示
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∫ arcsinx/x² dx
=-∫ arcsinxd(1/x)
=-(1/x)*arcsinx+∫(1/x)d(arcsinx)
=-arcsinx/x+∫(1/x)*[1/√(1-x²)] dx
x=sint,则t=arcsinx,dx=costdt,
∫(1/x)*[1/√(1-x²)] dx
=∫ (1/sint)*(1/cost)*costdt
=∫ csctdt
=ln|csct-cott|+C
将t=arcsinx代入上式
∫ arcsinx/x² dx
=-arcsinx/x+ln|csct-cott|+C
=-arcsinx/x+ln|(1/x)-√(1-x²)/x|+C
=-arcsinx/x+ln|[1-√(1-x²)]/x|+C
=-∫ arcsinxd(1/x)
=-(1/x)*arcsinx+∫(1/x)d(arcsinx)
=-arcsinx/x+∫(1/x)*[1/√(1-x²)] dx
x=sint,则t=arcsinx,dx=costdt,
∫(1/x)*[1/√(1-x²)] dx
=∫ (1/sint)*(1/cost)*costdt
=∫ csctdt
=ln|csct-cott|+C
将t=arcsinx代入上式
∫ arcsinx/x² dx
=-arcsinx/x+ln|csct-cott|+C
=-arcsinx/x+ln|(1/x)-√(1-x²)/x|+C
=-arcsinx/x+ln|[1-√(1-x²)]/x|+C
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