Question

∫(0～1)r^5*√(1+4r2)dr这玩意儿怎么求?

Answer 1

作代换：r=asinx，dr=acosxdx。

∫r^5*√（a²-r²）dr=∫a^5*(sinx)^5*acosx*acosxdx=a^7∫(sinx)^5*(cosx)^2dx。

=a^7∫((sinx)^5-(sinx)^7)dx=a^7{∫(sinx)^6dcosx-∫(sinx)^4dcosx}。

=a^7{∫(1-cosx^2)^3dcosx-∫(1-cosx^2)^2dcosx}。

∫r^3 √(1+r^2) dr求积分：

令r = tanθ,dr = sec²θdθ

√(1 + r²) = √(1 + tan²θ) = √sec²θ = secθ

∫ r³√(1 + r²) dr

= ∫ (tan³θsecθ)(sec²θ) dθ

= ∫ tan³θsec³θ dθ

= ∫ tan²θsec²θ d(secθ)

= ∫ (sec²θ - 1)sec²θ d(secθ)

= ∫ (sec⁴θ - sec²θ) d(secθ)

= (1/5)sec⁵θ - (1/3)sec³θ + C

= (1/5)(1 + r²)^(5/2) - (1/3)(1 + r²)^(3/2) + C,进一步因式分解

= (1/15)(3r² - 2)(1 + r²)^(3/2) + C

Answer 2