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高中数学:如图,画红线部分是怎么得到的?请详细说明,谢谢!
3个回答
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这个是利用累加法,正好构成了一个等比数列,利用等比数列前n项和公式。
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数列{an}中,a1=1,a(n+1)=an/(an+1),
求通项an。
解:
∵a(n+1)=an/(2^n·an+1),
∴1/a(n+1)=2^n+1/an,
∴1/a(n+1)-1/an=2^n,
设bn=1/an,则,
b(n+1)-bn=2^n,
∴bn-b(n-1)=2^(n-1),
b(n-1)-b(n-2)=2^(n-2),
......
b2-b1=2,
将上面各式相加(累加)得:
bn-b1=2+2²+···+2^(n-2)+2^(n-1),
∴bn=b1+2+2²+···+2^(n-2)+2^(n-1)
又b1=1/a1=1,
∴bn=1+2+2²+···+2^(n-1)
=(1-2^n)/(1-2)
=2^n-1,
∴an=1/bn=1/(2^n-1)。
所以所求为:an=1/(2^n-1)。
求通项an。
解:
∵a(n+1)=an/(2^n·an+1),
∴1/a(n+1)=2^n+1/an,
∴1/a(n+1)-1/an=2^n,
设bn=1/an,则,
b(n+1)-bn=2^n,
∴bn-b(n-1)=2^(n-1),
b(n-1)-b(n-2)=2^(n-2),
......
b2-b1=2,
将上面各式相加(累加)得:
bn-b1=2+2²+···+2^(n-2)+2^(n-1),
∴bn=b1+2+2²+···+2^(n-2)+2^(n-1)
又b1=1/a1=1,
∴bn=1+2+2²+···+2^(n-1)
=(1-2^n)/(1-2)
=2^n-1,
∴an=1/bn=1/(2^n-1)。
所以所求为:an=1/(2^n-1)。
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