Question

x^2e^-x^2积分是什么？

Answer 1

是原函数。

先用分部积分法：∫x^2e(x^2)dx=(1/2)∫xd(e^x^2)=(1/2)xe^(x^2)-(1/2)∫e^x^2dx，这里求∫e^x^2dx，设t=x^2，dx=1/[2t^(1/2)]。

原式=∫e^tdt/t^(1/2)。

用泰勒展开式e^t=1+t+t^2/2!+t^3/3!+..+t^n/n。

不定积分的意义：

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数，因此，当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。