Question

x^2=4y(x>0),y=1,x=0,分别绕x,y轴的旋转体体积 Vx=8π/5 Vy=2π

Answer 1

你最近是不是全遇到求旋转体体积的作业了..
还是用微元法,发挥想象力.sqrt是开方.
先求绕 y 轴旋转后得到的体积,好求些这个.你在y轴正半轴上任取一个小区间 [y,y+dy] （当然要保证这个区间在 [0,1] 内了）,那么在平面上,夹在直线 y = y 和 y = y + dy之间的区磨渣域大约是一个矩形,所以旋转完后,这个矩形就变成了一个圆柱.该圆柱的底面半径是 x = 2sqrt(y),所以
底面积 S = π * x^2 = π * 4y,高就是dy,所以体积微元：
dV = S*dy = 4yπ dy,于是所求旋转体体积为：
V = 定积分 (y从0到1) 4yπ dy = 2π.
绕x轴旋转要你想象力更多了.你首先观察平面图形先,现在抛物线夹在x轴也y = 1之间,像一个灯罩,现在要这个灯罩绕x轴旋转,所以出来的东西是一瞎族悄个环状的物体.由于是绕x轴旋转,此时微元法就要在 x轴上进行.取 x轴正半轴上小区间 [x,x+dx] ,然后画 x = x,x = x+ dx 与旋转体的截面（就是两个抛物线,另一个和这个对称的）所夹的区域,你会看到是两个一样的矩形,这个矩形的宽就是 dx,长是 1 - f(x) = 1 - x^2/4.想象一下,这样的两个矩形绕x轴旋转过后,其实也会形成一个圆环柱,这个圆环柱穗首的底面与y轴平行,是一个环形,面积为
S = π*(1 - (f(x)^2) = π*( 1 - x^4 / 16 ),
高就是 dx,所以体积微元是：
dV = S*dx = π*( 1 - x^4 / 16 )*dx,于是旋转体体积：
V = 定积分 （x从-2到2）π*( 1 - x^4 / 16 )*dx
= 2 定积分 （x从0到2）π*( 1 - x^4 / 16 )*dx
= 8π/5.