Question

求空间几何向量的值

已知一个平面的法向量为A（a,b,c）,该平面上有一个向量B（d,e,f）,求该平面上与B夹角为n，模为R的两个向量。

Answer 1

设所求向量C为(x,y,z)，则A⊥C，|C|=R，B与C夹角为n
①A*C=ax+by+cz=0
②|C|^2=x^2+y^2+z^2=R^2
③(B*C)/(|B|*|C|)=(dx+ey+fz)/R√(d^2+e^2+f^2)=cosn
由①得：z=(-ax-by)/c，代入③，得：dx+ey=Rcosn*√(d^2+e^2+f^2)+(afx+bfy)/c
cdx+cey=cRcosn*√(d^2+e^2+f^2)+afx+bfy
y=[cRcosn*√(d^2+e^2+f^2)+(af-cd)x]/(ce-bf)
z=-ax/c-[bcRcosn*√(d^2+e^2+f^2)+(abf-bcd)x]/c(ce-bf)
=-[(ae-bd)x+bRcosn*√(d^2+e^2+f^2)]/(ce-bf)
代入②，得：x^2+[cRcosn*√(d^2+e^2+f^2)+(af-cd)x]^2/(ce-bf)^2+[(ae-bd)x+bRcosn*√(d^2+e^2+f^2)]^2/(ce-bf)^2=R^2
(ce-bf)^2*x^2+[cRcosn*√(d^2+e^2+f^2)+(af-cd)x]^2+[(ae-bd)x+bRcosn*√(d^2+e^2+f^2)]^2=(ce-bf)^2*R^2
[(ce-bf)^2+(af-cd)^2+(ae-bd)^2]x^2+[2(af-cd)cRcosn*√(d^2+e^2+f^2)+2(ae-bd)bRcosn*√(d^2+e^2+f^2)]x+R^2*cos^2n*(d^2+e^2+f^2)(b^2+c^2)=(ce-bf)^2*R^2
[(ce-bf)^2+(af-cd)^2+(ae-bd)^2]x^2+2Rcosn*√(d^2+e^2+f^2)*(acf-c^2d+abe-b^2d)x+R^2*[cos^2n*(d^2+e^2+f^2)(b^2+c^2)-(ce-bf)^2]=0
这是关于x的一元二次方程，有两个实数根x1和x2
则对应的，能得出y1,y2和z1,z2
则(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)就是所求向量