Question

根号1+x^2的不定积分是多少?

Answer 1

根号1+x^2的不定积分如下：

令x=tant，t∈(-π/2,π/2)。

√(1+x²)=sect，dx=sec²tdt。

∫√(1+x²) dx。

=∫sec³t dt。

=∫sect d(tant) 。

=sect*tant-∫tant d(sect) 。

=sect*tant-∫tan²t*sectdt 。

=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt 。

=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt 。

∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)。

=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C 。

原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C。

由来：

现代，我们都习以为常地使用根号（如√等），并感到它来既简洁又方便。

古时候，埃及人用记号“┌”表示平方根。印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka。阿拉伯人用 表示 。1840年前后，德国人用一个点“．”来表示平方根，两点“．．”表示4次方根，三个点“．．．”表示立方根。