Question

已知二次型f（x1，x2，x3）=（1-a）x12+（1-a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2．？

Answer 1

解题思路：（1）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值；
（2）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正 A＝ 1 1 0 1 1 0 0 0 2 交变换；
（3）利用第二步的结果，通过标准形求解即可．
（1）
二次型对应矩阵为A，由二次型的秩为2，
知：
.
A.＝
.
1−a1+a0
1+a1−a0
002.=-8a=0，
解得a=0．

（2）

.
λI−A.=
.
λ−1−10
−1λ−10
00λ−2.=λ（λ-2）2，
可求出其特征值为：λ1=λ2=2，λ3=0．
①解 （2E-A）x=0，得特征向量为：α1＝

1
1
0，α2＝

0
0
1，
②解 （0E-A）x=0，得特征向量为：α3＝

1
−1
0．
由于α1，α2已经正交，直接将α1，α2，α3单位化，得：
η1＝
1

2

1
1
0，η2＝

0
0
1，η3＝
1

2

1
−1
0.
令Q＝

α1，α2，α3，即为所求的正交变换矩阵，
由x=Qy，可化原二次型为标准形：
f（x1，x2，x3）=2y12+2y22．

（3）
由f（x1，x2，x3）=2
y21+2
y22=0，
得：y1=0，y2=0，y3=k（k为任意常数）．
从而所求解为：
x=Qy=

η1，η2，η3

0
0
k=kη3=

c
−c
0，其中c为任意常数．
,3,已知二次型f（x 1，x 2，x 3）=（1-a）x 1 2+（1-a）x 2 2+2x 3 2+2（1+a）x 1x 2的秩为2．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 求正交变换x=Qy，把f（x 1，x 2，x 3）化成标准形；
（Ⅲ） 求方程f（x 1，x 2，x 3）=0的解．