Question

如何求多个矩阵的最小多项式？

Answer 1

方法一：

（1）先将A的特征多项式f（y）在P中作标准分解，找到A的全部特征值  ，  ，  ，  ；

（2）对f（y）的标准分解式中含有  的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A的多项式就是最小多项式。

方法二：

设A是n级复数矩阵，则A的最小多项式 g（y）是A的最后一个不变因子  。 

先求出所有的特征值及其代数重数，假定不同特征值为c1,c2...,ck,那么最小多项式一定是p(x)=(x-c1)^a1(x-λ2)^a2...(x-λk)^ak的形式，关键在于定次数。其中指数ai≤特征值ci的重数。

对于单特征值ci，那么对应的指数就是ai=1。

对于重特征值ci，去求它的广义特征向量，也就是说解(ciI-A)^mx=0，m从1开始向上增加，直到(ciI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同，那么ai=m。

换句话说。就是使得(ciI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同的最小的m／

设D（n-1）（λ）为行列式det（λI-A）=Dn（λ）的（n-1）阶因子，则最小多项式=Dn（λ）/D（n-1）（λ）；

将A变换成为Jordan标准式，是求解最小多项式的标准方法。此时，ai是ci非零子块的最大阶数。

扩展资料：

设  ，在数域P上的以A为根的多项式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式。

性质：

①A的最小多项式是唯一的。

②设  是A的最小多项式，则  等价于  。

③A的最小多项式  是它的特征多项式  的一个因式。

④A的最小多项式  与它的特征多项式  在数域P中有相同的根。

⑤相似的方阵阵具有相同的最小多项式。

⑥r级Jordan块  的最小多项式就是它的特征多项式  ，也是它的初等因子。

Answer 2

a) 计算所有特征值s(i)
b) 对于每个特征值s(i)计算A-s(i)E的秩m(i)
则D(s)=(s-s(i))^(n-m(i))就是最小多项式