Question

如何求矩阵的最小多项式

Answer 1

设A是n级复数矩阵，则A的最小多项式 g（y）是A的最后一个不变因子  。 先求出所有的特征值及其代数重数，假定不同特征值为c1,c2...,ck,那么最小多项式一定是p(x)=(x-c1)^a1(x-λ2)^a2...(x-λk)^ak的形式，关键在于定次数。其中指数ai≤特征值ci的重数。

对于单特征值ci，那么对应的指数就是ai=1。

对于重特征值ci，去求它的广义特征向量，也就是说解(ciI-A)^mx=0，m从1开始向上增加，直到(ciI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同，那么ai=m。

换句话说。就是使得(ciI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同的最小的m／

设D（n-1）（λ）为行列式det（λI-A）=Dn（λ）的（n-1）阶因子，则最小多项=Dn（λ）/D（n-1）（λ）；将A变换成为Jordan标准式，是求解最小多项式的标准方法。此时，ai是ci非零子块的最大阶数。

多项式的排列的题时注意：

1、由于单项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符看作是这一项的一部分，一起移动。

2、有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意:a.先确认按照哪个字母的指数来排列。确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。

3、几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。

4、多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

5、多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

Answer 2

求极小多项式本质上和求初等因子组或者Jordan标准型是等价的。
如果这些概念知道，那么看一下教材就明白了。
如果都不知道，那么这样：
先求出所有的特征值及其代数重数。假定不同特征值为c1,c2...,ck，那么极小多项式一定是
p(x)=(x-c1)^a1(x-c2)^a2...(x-ck)^ak
的形式，关键在于定次数。
对于单特征值c，那么对应的指数就是a=1。
对于重特征值c，去求它的广义特征向量，也就是说解(cI-A)^mx=0，m从1开始向上增加，直到(cI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同，那么a=m。换句话说，就是使得(cI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同的最小的m。