Question

lnx的泰勒级数展开式怎么推导？

Answer 1

ln(1-x)的泰勒级数展开是：ln(1-x) = ln[1+(-x)] = Σ (-1)^(n+1) (-x)^n / n = Σ x^n / n ,-1≤ x。

泰勒展开
f（x）= f（0）+ f′（0）x+ f″（0）x ²/ 2!+...+ fⁿ（0）...

f（x）= ln(x+1)

f（0）=ln1=0

f′（0）=1/（x+1)=1

f″（0）=-（x+1)＾（-2）=-1

f3（0）=-（-2）（x+1)＾（-3）=2

f4（0）=2*（-3）（x+1)＾（-4）=-6

fⁿ（0）=（-1）＾（n+1）*（n-1）!

ln(x+1)=0+x+（-1）x ²/ 2!+.2*x ³/ 3!+...+ （-1）＾（n+1）*（n-1）!*x ⁿ/ n!
=x-x ²/ 2+x ³/ 3-.+（-1）＾（n+1）x ⁿ/ n

因为ln(1+x) = Σ (-1)^(n+1) x^n / n ,-1< x ≤ 1，所以ln(1-x) = ln[1+(-x)] = Σ (-1)^(n+1) (-x)^n / n = Σ x^n / n ,-1≤ x。

扩展资料：

带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导：

f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

泰勒中值定理：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和。

f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)，其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。