Question

等差和等比数列的几道题【需要详细过程】

⒈已知{an}是公差不为零的等差数列，a1，a2是方程x^2-a3x+a4=0的根，求{an}的通项公式。【a3x中的3是下标】（答案：an=2n）
⒉数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1（n∈N），求{an}的通项公式。【an+1中n+1是下标，2an+1中的n是下标，1不是下标】（答案：an=2^n-1 1不是上标 ）
⒊三个数成等比数列，其积为512，如果第一、第三个数各减去2，即成等差数列，求这三个数。（答案：4、8、16或16、8、4）
⒋已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，求a1+a3+a9/a2+a4+a10的值。（答案：13/16）
⒌在等比数列{an}中，若an>0且a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5的值。（答案：5）

Answer 1

1)a1，a2是方程x^2-a3x+a4=0的根
a1+a2=a3 ①
a1·a2=a4 ②
设公差为d，d≠0
由①得：
a1+a1+d=a1+2d
a1=d
则a2=2d a4=4d
由②得：
d·2d=4d
d≠0
d=2
{an}的通项公式是：an=a1+d(n-1)=2+2(n-1)=2n

2)a(n+1)=2n+1
a(n+1)+1=2(an+1)
设bn=an+1
b1=a1+1=2
b(n+1)=a(n+1)=2(an+1)=2bn
{bn}是首项为2，公比为2的等比数列
bn=2^n
∴an=bn-1=2^b-1

3)512=8^3
∴第二个数是8
设第一个数是x，则第三个数是64/x
x-2+(64/x)-2=16
x+(64/x)=20
x²-20x+64=0
(x-4)(x-16)=0
x=4 或 x=16
所以这三个数是：4、8、16或16、8、4

4)a3=a1+2d
a9=a1+8d
a1，a3，a9成等比数列
(a3)²=a1·a9
(a1+2d)²=a1(a1+8d)
(a1)²+4a1d+4d²=(a1)²+8a1d
4d²=4a1d
∵d≠0
∴a1=d
则a2=a1+d=d+d=2d
a3=a1+2d=d+2d=3d
a4=a1+3d=d+3d=4d
a9=a1+8d=d+8d=9d
a10=a1+9d=d+9d=10d
则(a1+a3+a9)/(a2+a4+a10)
=(d+3d+9d)/(2d+4d+10d)
=13d/16d
=13/16

5)a2a4=(a3)²
a4a6=(a5)²
即：(a3)²+2a3a5+(a5)²=25
则：(a3+a5)²=(a3)²+2a3a5+(a5)²=25=5²
∵an>0
∴a3+a5>0
∴a3+a5=5