Question

∫1-2x/x²-x-1dx

Answer 1

首先，我们要分解分母，将分母$x^2-x-1$分解成两个因式。使用求根公式解得：$$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$所以，我们可以将分母分解成$(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2})$。接下来，我们可以将原式进行部分分式分解：$$\frac{1}{x^2-x-1}=\frac{A}{x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+\frac{B}{x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}$$通过通分的方法，得到：$$1=A(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2})+B(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2})$$令$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，得到$A=-\frac{1}{\sqrt{5}}$。令$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，得到$B=\frac{1}{\sqrt{5}}$。因此，原式可以化为：$$\begin{aligned}\int{\frac{1}{x^2-x-1}}dx&=\int{\frac{-\frac{1}{\sqrt{5}}}{x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}dx+\int{\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}}dx \&=-\frac{1}{\sqrt{5}}\ln\left|x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right|+\frac{1}{\sqrt{5}}\ln\left|x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right|+C\end{aligned}$$其中，$C$为常数。因此，原函数为：$$\boxed{-\frac{1}{\sqrt{5}}\ln\left|x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right|+\frac{1}{\sqrt{5}}\ln\left|x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right|+C}$$