Question

利用代数法证明等式

Answer 1

(1) 首先将等式左边按照字母顺序排列，得到：
AB + AC + BC + BCD
将BCD分解为BCD = BC + BD，代入上式，得到：
AB + AC + BC + BC + BD
将相同项合并，得到：
AB + AC + 2BC + BD
再将BD分解为AB + BD - AB，代入上式，得到：
AB + AC + 2BC + AB + BD - AB
将相同项合并，得到：
2AB + AC + 2BC + BD
将等式右边代入，得到：
AB + C 因此，等式左右两边相等，原命题成立。
(2) 首先将等式左边按照字母顺序排列，得到：
AD + AD + BC + CD
将相同项合并，得到：
2AD + BC + CD
将BCD分解为BCD = BC + BD，代入上式，得到：
2AD + BC + BC + BD
将相同项合并，得到：
2AD + 2BC + BD
将BD分解为AD + BD - AD，代入上式，得到：
2AD + 2BC + AD + BD - AD
将相同项合并，得到：
3AD + 2BC + BD
将等式右边代入，得到：
AD + C + BCD + AD + C
将BCD分解为BCD = BC + BD，代入上式，得到：
AD + C + BC + BD + AD + C
将相同项合并，得到：
2AD + 2C + 2BC + BD 因此，等式左右两边相等，原命题成立。

Answer 2

(1) AB + BCD + AC + BC = AB + C
首先，将等式左边进行化简：
AB + BCD + AC + BC = AB + AC + BC + BCD
然后，将等式右边的 C 提取出来，得到：
AB + AC + BC + BCD = AB + C(1 + BD)
由于 1 + BD 的值只能为 1 或者 BD，所以有以下两种情况：
当 1 + BD = 1 时，即 BD = 0，等式右边的 C(1 + BD) = C，因此等式得证。
当 1 + BD = BD 时，即 BD = 1，则等式右边的 C(1 + BD) = C(BD + 1) = C，因此等式得证。
因此原等式成立。
(2) AD + C + BCD = AD + C
首先，将等式右边的 C 提取出来，得到：
AD + C + BCD = AD + C(1 + B)
由于 1 + B 的值只能为 1 或者 2，所以有以下两种情况：
当 1 + B = 1 时，即 B = 0，等式右边的 C(1 + B) = C，因此等式得证。
当 1 + B = 2 时，即 B = 1，则等式右边的 C(1 + B) = C(2) = C，因此等式得证。
因此原等式成立。
(3) AB + CDE + BD + AD = AB + D
首先，将等式左边进行化简：
AB + CDE + BD + AD = AB + AD + BD + CDE
然后，将等式右边的 D 提取出来，得到：
AB + AD + BD + CDE = AB + D(A + C + E + B)
由于 A + C + E + B 的值只能为 1 或者大于 1，所以有以下两种情况：
当 A + C + E + B = 1 时，等式右边的 D(A + C + E + B) = D，因此等式得证。
当 A + C + E + B > 1 时，则等式右边的 D(A + C + E + B) = D，因此等式得证。
因此原等式成立。